On considère le polynôme : $ P(x) = $ $ \dfrac{5}{4}x^2+2x-3 $
Forme canonique
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(x^2+ \dfrac{8}{5}x- \dfrac{12}{5}\right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\left( \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{12}{5}\right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{16}{25}- \dfrac{12}{5}\right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2- \dfrac{76}{25}\right) $
Factorisation avec la forme canonique
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\sqrt{ \dfrac{76}{25}}^2\right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(\left(x+ \dfrac{4}{5}\right)^2-\left( \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)^2\right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left( x + \dfrac{4}{5}- \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left( x + \dfrac{4}{5}+ \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $
Factorisation sans la forme canonique mais avec le discriminant
Si on note $ P(x) = ax^2 + bx+c $ alors :
$ \Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times \dfrac{5}{4}\times\left(-3\right) = 19>0 $ delta est strictement positif
On calcule $ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Cela donne $ x_1 = \dfrac{-2-\sqrt{19}}{ \dfrac{5}{2}}\quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Puis $ x_1 = \dfrac{-4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} $
La factorisation est $ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $
Solution de $ P(x) = 0 $ utilisant la factorisation
$ P(x) = 0\quad\text{ssi}\quad \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) = 0$
or un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul
donc $ \left(x+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) = 0\quad\text{ou}\quad \left(x+ \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) = 0 $
donc $ x = \dfrac{-4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \quad \text{ou}\quad x = \dfrac{-4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} $
Tableau de signe
$ P(x) = \dfrac{5}{4}\left(x+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right)\left(x+ \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \right) $
Notons $ x_1 = \dfrac{-4}{5} - \dfrac{2}{5} \sqrt{19} \quad \text{et}\quad x_2 = \dfrac{-4}{5} + \dfrac{2}{5} \sqrt{19} $
Le facteur $ \dfrac{5}{4} $ est positif et facteurs sont affines croissants, on a donc le tableau de signe suivant : \begin{array}{ |c| l ccc ccc r|} \hline x &-\infty & & x_1 & & x_2 & &+ \infty \\\hline \hline \dfrac{5}{4} & & + & & + & & + & \\\hline \hline (x-x_1) & & - & 0 & + & & + & \\\hline \hline (x-x_2) & & - & & - & 0 & + & \\\hline \hline P(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\\hline\end{array}