On souhaite résoudre ce système : $ \left\{ \begin{matrix} x & +2y & = & 3\cr 4x & +5y & = & 6\end{matrix}\right. $
$ \left\{\begin{matrix} x & +2y &=& 3\cr 4x & +5y & = & 6\end{matrix}\right. $ $ ~ \qquad\begin{matrix}\times 4\cr \times 1\end{matrix}\quad \ominus\!\! \Big\downarrow \quad \begin{matrix} 4x +8y = 12\cr 4x +5y = 6\end{matrix} $

On garde la première équation et on multiplie les lignes pour faire disparaître les x par soustraction dans l'autre équation.

$ \left\{\begin{matrix} x & +2y &=& 3\cr & 3y & = & 6\end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} x & +2y &=& 3\cr & y & = & 2\end{matrix}\right. \qquad\begin{matrix}\Lsh\cr\text{on reporte}\end{matrix} $

$ \left\{\begin{matrix} x & +4 &=& 3\cr & y & = & 2\end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} x &=& 3-4 = -1\cr y & = & 2\end{matrix}\right. $

Finalement : $ \fbox{ $ x = -1\qquad y = 2 $ } $